Номер 1351 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

При гомотетии с центром $O$ точка, её образ и центр лежат на одной прямой. Отрезок переходит в отрезок, при этом концы переходят в концы. Значит, возможны два соответствия: $A\to A_1,B\to B_1$ и $A\to B_1,B\to A_1$. Разберём каждое.

Случай 1: $A\to A_1,B\to B_1$.

Центр лежит на прямой $A{A}_1$ и на прямой $B{B}_1$. Эти прямые пересекаются: если бы $A{A}_1\parallel B{B}_1$, то вместе с $AB\parallel A_1{B}_1$ они образовали бы параллелограмм $AB{B}_1{A}_1$ и было бы $AB=A_1{B}_1$, а по условию отрезки неравны. Итак, $O_1=A{A}_1\cap B{B}_1$.

Проверим, что гомотетия с центром $O_1$, переводящая $A$ в $A_1$, переводит $B$ в $B_1$. Она переводит прямую $AB$ в параллельную ей прямую, проходящую через $A_1$, то есть в $A_1{B}_1$, а прямую $O_{1}B$ — в себя. Значит, образ точки $B$ — общая точка прямых $O_{1}B$ и $A_1{B}_1$, то есть $B_1$.

Случай 2: $A\to B_1,B\to A_1$.

Рассуждая так же, получаем $O_2=A{B}_1\cap B{A}_1$ (эти прямые тоже пересекаются, иначе $AB{A}_1{B}_1$ был бы параллелограммом и $AB=A_1{B}_1$).

Каждое соответствие даёт ровно один центр, поэтому всего два решения. На чертеже отрезки сонаправлены: для центра $O_1$ коэффициент $k=\frac{A_1{B}_1}{AB}>0$, для центра $O_2$ коэффициент $k=-\frac{A_1{B}_1}{AB}<0$.