Номер 1352 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Как и в задаче 1351, концы отрезка переходят в концы, возможны соответствия $A\to A_1,B\to B_1$ и $A\to B_1,B\to A_1$. Но теперь длины равны, поэтому $|k|=1$.

Значение $k=1$ не подходит: гомотетия с $k=1$ — тождественное преобразование, оно оставляет каждую точку на месте, а точки $A$, $B$ лежат на другой прямой, чем $A_1$, $B_1$. Остаётся $k=-1$ — центральная симметрия, при которой $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$.

Векторы $\overrightarrow{AB}$и $\overrightarrow{A_1{B}_1}$ параллельны и равны по длине, значит, либо $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{AB}$, либо $\overrightarrow{A_1{B}_1}=-\overrightarrow{AB}$. Ровно одно из этих равенств верно.

Пусть, как на чертеже, $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{AB}$. Тогда соответствие $A\to A_1,B\to B_1$ требовало бы $k=1$ — центра нет ($A{A}_1\parallel B{B}_1$). А соответствие $A\to B_1,B\to A_1$ даёт $\overrightarrow{B_1{A}_1}=-\overrightarrow{AB}$, то есть $k=-1$: центр — середина отрезков $A{B}_1$ и $B{A}_1$, то есть точка пересечения диагоналей параллелограмма $AB{B}_1{A}_1$.

Если же $\overrightarrow{A_1{B}_1}=-\overrightarrow{AB}$, то подходит первое соответствие, а центр — середина отрезков $A{A}_1$ и $B{B}_1$. В любом случае решение единственное.