Номер 1353 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1353. Пусть при некоторой гомотетии точки $A$ , $B$ и $C$ переходят соответственно в точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ . Докажите, что если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$ , то точка $B_{1}$ лежит между точками $A_{1}$ и $C_{1}$ .

Дано:

гомотетия: $A \to A_{1}, B \to B_{1}, C \to C_{1}$

$B$ лежит между $A$ и $C$

Доказать:

$B_{1}$ лежит между $A_{1}$ и $C_{1}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1353 — центр O, три точки A, B, C на прямой и их образы A1, B1, C1 при гомотетии с k = 1,7

1) Гомотетия с коэффициентом $k$ умножает все расстояния на $∣ k ∣$ (п. 133):

A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B, B_{1} C_{1} = ∣ k ∣ \cdot BC, A_{1} C_{1} = ∣ k ∣ \cdot A C

2) Точка $B$ лежит между $A$ и $C$ , поэтому $A B + BC = A C$ . Умножим обе части на $∣ k ∣$ :

A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} = A_{1} C_{1}

3) Допустим, что точка $B_{1}$ не лежит на отрезке $A_{1} C_{1}$ . Тогда по неравенству треугольника (для трёх точек, не лежащих на одной прямой, или лежащих на одной прямой вне отрезка) $A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} > A_{1} C_{1}$ — противоречие с п. 2.

Значит, $B_{1}$ лежит на отрезке $A_{1} C_{1}$ . При этом $B_{1} \neq = A_{1}$ и $B_{1} \neq = C_{1}$ , так как $A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B > 0$ и $B_{1} C_{1} = ∣ k ∣ \cdot BC > 0$ . Итак, $B_{1}$ лежит между $A_{1}$ и $C_{1}$ , что и требовалось доказать.

Вывод: утверждение доказано: порядок точек на прямой при гомотетии сохраняется.

Номер 1353 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели