Номер 1359 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Идея:

Способ решения задачи 1 п. 137. Если $PX$ — хорда окружности $\omega$, а $Y$ — её середина, то $Y$ — образ точки $X$ при гомотетии с центром $P$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Эта гомотетия переводит окружность $\omega$ в окружность ${\omega }^{\prime }$ радиуса $\frac{r}{2}$ с центром в середине отрезка $PO$ (образ центра $O$), и ${\omega }^{\prime }$ проходит через $P$. Значит, $PO$ — диаметр ${\omega }^{\prime }$.

Итак, середины всех хорд, проведённых из точки $P$, — это в точности точки окружности ${\omega }^{\prime }$ на диаметре $PO$ (любая точка $Y\in {\omega }^{\prime }$ — образ некоторой точки $X$ окружности $\omega$).

Построение:

1) Построим окружность ${\omega }^{\prime }$ на диаметре $PO$ (середина $PO$ — центр, радиус $\frac{r}{2}$).

2) Найдём точку $Y$ пересечения ${\omega }^{\prime }$ с хордой $AB$.

3) Проведём луч $PY$ и отложим на нём $PX=2PY$ (точка $X$ лежит на окружности $\omega$). Хорда $PX$ — искомая.

Доказательство. $Y$ принадлежит ${\omega }^{\prime }$, поэтому $Y$ — середина хорды окружности $\omega$, проведённой из $P$, а так как $PX=2PY$ на луче $PY$, это хорда $PX$. По построению $Y\in AB$.

Исследование. Окружность ${\omega }^{\prime }$ лежит внутри круга $\omega$ (касается $\omega$ в точке $P$), поэтому её точки на прямой $AB$ лежат на хорде $AB$. Общих точек у ${\omega }^{\prime }$ и $AB$ может быть две, одна или ни одной (точка $P$ не считается — «хорда» из неё вырождена), поэтому и решений две, одно или нет. На чертеже два: $P{X}_1$ и $P{X}_2$.