Номер 1355 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k \neq = 0$

окружность $ω$ с центром $A$ , $O \in ω$

Доказать:

$ω$ и её образ $ω^{'}$ имеют в точке $O$ общую касательную

Доказательство:

Чертёж к задаче 1355 — окружность ω с центром A, проходящая через центр гомотетии O, её образ ω' с центром A1 при k = 2 и общая касательная t в точке O

1) Пусть $ω^{'}$ — окружность, в которую переходит $ω$ . При гомотетии окружность переходит в окружность, центр — в центр (п. 134): центр $ω^{'}$ — это образ $A_{1}$ точки $A$ .

2) Центр гомотетии остаётся на месте, а $O \in ω$ , поэтому $O$ — образ самой себя — лежит на $ω^{'}$ .

3) Образ точки лежит на прямой, соединяющей её с центром, поэтому точки $O$ , $A$ , $A_{1}$ лежат на одной прямой. Притом $A \neq = O$ (радиус положителен) и $A_{1} \neq = O$ (так как $O A_{1} = k O A \neq = 0$ ).

4) Касательная к $ω$ в точке $O$ перпендикулярна радиусу $O A$ , касательная к $ω^{'}$ в точке $O$ перпендикулярна радиусу $O A_{1}$ . Прямые $O A$ и $O A_{1}$ — одна и та же прямая, а через точку $O$ проходит единственная прямая, перпендикулярная ей. Значит, обе касательные совпадают, что и требовалось доказать.

При $k > 0$ окружности касаются изнутри (как на чертеже), при $k < 0$ — извне; общая касательная в обоих случаях одна и та же.

Вывод: окружность и её образ имеют в центре гомотетии общую касательную.

Номер 1355 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели