Номер 1357 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1357. Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан треугольника $A BC$ , докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $A BC$ , в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах сторон $A B$ , $BC$ и $C A$ .

Дано:

$△ A BC$ , $G$ — точка пересечения медиан

$A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — середины $BC$ , $C A$ , $A B$

Доказать:

$R = 2 R_{1}$ , где $R$ — радиус окружности около $△ A BC$ , $R_{1}$ — около $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1357 — треугольник ABC, его медианы с точкой пересечения G, треугольник из середин сторон A1B1C1 и две описанные окружности

1) Точка $G$ делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, и лежит между вершиной и серединой стороны. Поэтому

G A_{1} = - \frac{1}{2} G A, G B_{1} = - \frac{1}{2} GB, G C_{1} = - \frac{1}{2} GC

Значит, гомотетия с центром $G$ и коэффициентом $k = - \frac{1}{2}$ переводит $A$ , $B$ , $C$ в $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , а треугольник $A BC$ — в треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

2) Окружность, описанная около $△ A BC$ , при этой гомотетии переходит в окружность, проходящую через образы вершин $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , то есть в окружность, описанную около $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

3) При гомотетии радиус окружности умножается на $∣ k ∣$ :

R_{1} = ∣ k ∣ \cdot R = \frac{1}{2} R \Rightarrow R = 2 R_{1}

Это и требовалось доказать.

Вывод: радиус окружности, описанной около $△ A BC$ , вдвое больше радиуса окружности, описанной около треугольника из середин сторон.

Номер 1357 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели