№1356. В трапеции с основаниями и диагонали и пересекаются в точке . Используя предыдущую задачу, докажите, что окружности, описанные около треугольников и , имеют общую касательную в точке .
Дано:
трапеция , , диагонали и пересекаются в
Доказать:
окружности, описанные около и , имеют в точке общую касательную
Доказательство:
1) Так как , углы при диагоналях равны как накрест лежащие: , . Поэтому и
2) Диагонали трапеции пересекаются внутри неё, поэтому лежит между и и между и . Значит, и : точки и — образы точек и при гомотетии с центром и коэффициентом .
3) Эта гомотетия переводит в (точка остаётся на месте). Окружность, описанная около , переходит в окружность, проходящую через образы вершин — через , , , то есть в окружность, описанную около .
4) Центр гомотетии лежит на окружности, описанной около (это её вершина). По задаче 1355 эта окружность и её образ — окружность, описанная около — имеют в точке общую касательную, что и требовалось доказать.
Вывод: окружности, описанные около треугольников и , касаются в точке общей касательной.
