Номер 1358 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1358. Пусть точка $O$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны данной трапеции. Используя гомотетию с центром в точке $O$ , докажите, что точка $O$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции.

Дано:

трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$

$O = A B \cap D C$

$M$ , $N$ — середины $A D$ и $BC$

Доказать:

$O$ лежит на прямой $MN$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1358 — трапеция ABCD, продолжения боковых сторон до пересечения в точке O и прямая через середины оснований M и N

Пусть $BC$ — меньшее основание (иначе поменяем названия оснований). Тогда $B$ лежит между $O$ и $A$ , а $C$ — между $O$ и $D$ .

1) Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{OB}{O A} > 0$ : она переводит $A$ в $B$ . Прямую $A D$ она переводит в параллельную ей прямую, проходящую через $B$ , то есть в прямую $BC$ (так как $BC ∥ A D$ ).

2) Точка $D$ переходит в точку луча $O D$ , лежащую на прямой $BC$ , — это точка $C$ . Итак, отрезок $A D$ переходит в отрезок $BC$ .

3) По задаче 1354 середина $M$ отрезка $A D$ переходит в середину $N$ отрезка $BC$ .

4) Точка, её образ и центр гомотетии лежат на одной прямой. Значит, $O$ , $M$ , $N$ лежат на одной прямой, то есть $O$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований, что и требовалось доказать.

Вывод: точка $O$ лежит на прямой $MN$ , проходящей через середины оснований трапеции.

Номер 1358 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели