Номер 1360 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Расположение точек:

Назовём стороны угла $a$ и $b$ так, чтобы $M$ и $P$ лежали на $a$, а $N$ и $Q$ — на $b$. (Если бы $M$ и $Q$ лежали на одной стороне, прямая $MQ$ совпала бы с этой стороной и касалась бы обеих окружностей — хорд не было бы.)

Доказательство:

1) Отрезки касательных, проведённых из вершины $V$, равны: $VM=VN$ и $VP=VQ$. Точки $M$, $P$ лежат на одной стороне, $N$, $Q$ — на другой, поэтому

2) Пусть прямая $MQ$ вторично пересекает ${\omega }_1$ в точке $X$, а ${\omega }_2$ — в точке $Y$. Точка $Q$ лежит на касательной $b$ к ${\omega }_1$ и не совпадает с точкой касания $N$, поэтому по теореме о квадрате отрезка касательной (п. 136) для касательной $QN$ и секущей $QMX$:

Точка $M$ лежит на касательной $a$ к ${\omega }_2$ и не совпадает с $P$, поэтому для касательной $MP$ и секущей $MQY$:

3) Так как $QN=MP$ (п. 1) и $QM=MQ$, получаем

4) Обозначим $MQ=d$ и введём на прямой $MQ$ координату с началом в $M$ и направлением к $Q$: $M(0)$, $Q(d)$. Точка $X$ лежит на расстоянии $t$ от $Q$ по ту же сторону, что и $M$ (секущая из $Q$ внешней точки), то есть $X(d-t)$. Точка $Y$ лежит на расстоянии $t$ от $M$ в сторону $Q$, то есть $Y(t)$. Тогда

Хорды $MX$ и $QY$ равны, что и требовалось доказать. (Если прямая $MQ$ касается окружностей, $t=d$, обе хорды вырождаются в точку.)