Номер 1361 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

окружность радиуса $r$ , диаметр $A B$

$M \in$ окружности

$K = A M \cap t$ , $t$ — касательная в $B$

Доказать:

$A M \cdot A K$ не зависит от $M$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1361 — окружность с диаметром AB, касательная t в точке B, точка M на окружности и точка K на пересечении прямой AM с касательной

1) $∠ A MB = 9 0^{\circ}$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $A B$ .

2) $∠ A B K = 9 0^{\circ}$ : касательная $B K$ перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а радиус $OB$ лежит на диаметре $A B$ .

3) Треугольники $A BM$ и $A K B$ прямоугольные (с прямыми углами $M$ и $B$ ) и имеют общий острый угол $A$ , поэтому $△ A BM \sim △ A K B$ . Из подобия

\frac{A M}{A B} = \frac{A B}{A K} \Rightarrow A M \cdot A K = A B^{2} = (2 r)^{2} = 4 r^{2}

Величина $4 r^{2}$ зависит только от радиуса окружности, а не от положения точки $M$ , что и требовалось доказать.

Второй способ (по теореме о квадрате отрезка касательной, п. 136). Точка $M$ лежит между $A$ и $K$ (она — основание высоты $BM$ прямоугольного треугольника $A B K$ ), поэтому $A M = A K - K M$ . Касательная $K B$ и секущая $K M A$ дают $K B^{2} = K M \cdot K A$ , а по теореме Пифагора $K B^{2} = A K^{2} - A B^{2}$ . Тогда

A K^{2} - A B^{2} = K M \cdot A K \Rightarrow A B^{2} = A K (A K - K M) = A K \cdot A M

Ответ: $A M \cdot A K = A B^{2} = 4 r^{2}$ — постоянная величина, не зависящая от выбора точки $M$ .

Номер 1361 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели