№1364. На рисунке 419 точки и , а также и симметричны относительно биссектрисы угла . Известно, что , . Используя гомотетию с центром в точке пересечения отрезков и , докажите, что .
Дано:
— биссектриса ; и , и симметричны относительно
, ,
Доказать:
Доказательство:
Замечание. В учебнике напечатано , но длина зависит от величины угла . Доказать нужно, что составляет отрезка , то есть .
1) Симметрия относительно — движение, а прямые и переходят друг в друга. Поэтому лежит на луче , — на луче и
2) Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии: , . Значит, .
3) Треугольники и подобны: угол общий и . Поэтому
4) Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом (точка лежит между и ). Она переводит в . Прямую гомотетия переводит в параллельную ей прямую, проходящую через , то есть в прямую . Точка переходит в точку прямой (это прямая ), лежащую на прямой , — в точку .
5) Итак, отрезок переходит в отрезок , а при гомотетии длины умножаются на :
Это и требовалось доказать.
Вывод: (точка делит в отношении , считая от ).
