Номер 1365 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

окружность $ω (O; r)$ , точка $A$

$M \in ω$ , $X$ — середина $A M$

Доказать и найти:

множество точек $X$ — окружность; её центр и радиус

Решение:

Чертёж к задаче 1365 — окружность с центром O, точка A вне её, отрезки AM и их середины на синей окружности с центром O1 — серединой OA

Воспользуемся способом решения задачи 1 п. 137.

1) Середина $X$ отрезка $A M$ удовлетворяет равенству

A X = \frac{1}{2} A M

Значит, $X$ — образ точки $M$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ . Обратно, каждая точка образа окружности — это середина отрезка $A M$ , где $M$ — её прообраз на окружности.

2) Поэтому искомое множество — образ окружности $ω (O; r)$ при этой гомотетии. Образ окружности при гомотетии — окружность; её центр — образ точки $O$ :

A O_{1} = \frac{1}{2} A O \Rightarrow O_{1} — середина отрезка O A

а радиус равен $∣ k ∣ \cdot r = \frac{r}{2}$ .

3) Проверка без гомотетии. Если $M$ не лежит на прямой $O A$ , то $O_{1} X$ — средняя линия треугольника $A OM$ , поэтому $O_{1} X = \frac{1}{2} OM = \frac{r}{2}$ . Если $M$ лежит на прямой $O A$ , то $O_{1} X = A X - A O_{1} = \frac{1}{2} (A M - A O) = \frac{1}{2} OM$ и снова $O_{1} X = \frac{r}{2}$ .

Если точка $A$ совпадает с $O$ , то центр искомой окружности — сама точка $O$ .

Ответ: окружность с центром в середине $O_{1}$ отрезка $O A$ (центр лежит на прямой $O A$ ) и радиусом $\frac{r}{2}$ .

Номер 1365 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели