Номер 1366 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $G$ — точка пересечения медиан

гомотетия $H_{G}^{- 2}$ с центром $G$ и $k = - 2$

$m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ — серединные перпендикуляры к $BC$ , $C A$ , $A B$

Доказать:

образы $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ — прямые, содержащие высоты $△ A BC$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1366 — треугольник ABC, медиана AA1 с точкой G, серединный перпендикуляр m к стороне BC и высота AH1, параллельная ему

1) Пусть $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — середины сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ . По свойству медиан $G$ лежит на медиане $A A_{1}$ между $A$ и $A_{1}$ и $A G = 2 G A_{1}$ . Поэтому

G A = - 2 G A_{1}, GB = - 2 G B_{1}, GC = - 2 G C_{1}

то есть гомотетия с центром $G$ и $k = - 2$ переводит $A_{1}$ в $A$ , $B_{1}$ в $B$ , $C_{1}$ в $C$ .

2) Серединный перпендикуляр $m_{a}$ проходит через $A_{1}$ и перпендикулярен $BC$ . По свойству 1° п. 134 гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в себя). Значит, образ $m_{a}$ — прямая, параллельная $m_{a}$ (или совпадающая с ней) и проходящая через образ точки $A_{1}$ , то есть через $A$ .

3) Прямая, параллельная $m_{a}$ , перпендикулярна $BC$ . Прямая, проходящая через $A$ перпендикулярно $BC$ , — это прямая $A H_{1}$ , содержащая высоту треугольника. Итак, $m_{a}$ переходит в прямую, содержащую высоту из вершины $A$ .

4) Точно так же $m_{b}$ (через $B_{1}$ , $m_{b} ⊥ C A$ ) переходит в прямую через $B$ , перпендикулярную $C A$ , а $m_{c}$ — в прямую через $C$ , перпендикулярную $A B$ . Это прямые, содержащие две другие высоты, что и требовалось доказать.

Вывод: при гомотетии $H_{G}^{- 2}$ каждый серединный перпендикуляр переходит в прямую, содержащую высоту, проведённую к той же стороне.

Номер 1366 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели