Номер 1367 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ ; $O$ — центр описанной окружности, $G$ — точка пересечения медиан (центроид)

$H$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты (ортоцентр)

Доказать:

$O$ , $G$ , $H$ лежат на одной прямой

Доказательство:

Чертёж к задаче 1367 — треугольник ABC, точки H, G, O на одной красной прямой — прямой Эйлера

1) Центр $O$ описанной окружности — общая точка серединных перпендикуляров $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ к сторонам треугольника.

2) По задаче 1366 гомотетия с центром $G$ и коэффициентом $k = - 2$ переводит прямые $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ в прямые, содержащие высоты треугольника. Точка $O$ лежит на всех трёх серединных перпендикулярах, поэтому её образ $O^{'}$ лежит на всех трёх прямых, содержащих высоты, то есть $O^{'} = H$ .

3) Значит,

G H = - 2 GO

Векторы $G H$ и $GO$ коллинеарны, поэтому точки $H$ , $G$ , $O$ лежат на одной прямой. Более того, $G$ лежит на отрезке $H O$ и $H G = 2 GO$ .

Если треугольник равносторонний, то $O$ , $G$ и $H$ совпадают, и утверждение тоже верно (через одну точку проходит прямая). Во всех остальных случаях прямая $O H$ определена однозначно — это прямая Эйлера, что и требовалось доказать.

Вывод: точки $O$ , $G$ , $H$ лежат на одной прямой, причём $G H = - 2 GO$ .

Номер 1367 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели