Номер 1368 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Напоминание.

Вектор $k\vec{a}$имеет длину $|k|\cdot |\vec{a}|$ и сонаправлен с $\vec{a}$при $k>0$, противоположно направлен при $k<0$; $0\cdot \vec{a}=\vec{0}$. Два вектора равны, если у них одинаковые длины и они сонаправлены.

1) Сочетательный закон.

Если $\vec{a}=\vec{0}$или одно из чисел равно нулю, обе части равны $\vec{0}$. Иначе длины совпадают:

Направления: при $kl>0$ числа $k$, $l$ одного знака. Если оба положительны, $l\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$и $k(l\vec{a})\uparrow \uparrow l\vec{a}$; если оба отрицательны, направление меняется дважды. В обоих случаях $k(l\vec{a})\uparrow \uparrow \vec{a}$, как и $(kl)\vec{a}$. При $kl<0$ направление меняется ровно один раз, и оба вектора противоположны $\vec{a}$. Значит, $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$.

2) Первый распределительный закон.

Пусть $\vec{a}\ne \vec{0}$(иначе всё очевидно). Векторы $k\vec{a}$и $l\vec{a}$коллинеарны.

а) Если $k$ и $l$ одного знака (или одно из них равно 0), то $k\vec{a}$и $l\vec{a}$сонаправлены, и их сумма направлена так же, а её длина равна $|k||\vec{a}|+|l||\vec{a}|=|k+l||\vec{a}|$. Это и есть вектор $(k+l)\vec{a}$.

б) Пусть, например, $k>0>l$. Тогда $k\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$, $l\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$. Сумма противоположно направленных векторов направлена как более длинный из них, а её длина равна разности длин:

Если $k+l>0$, длиннее $k\vec{a}$и сумма сонаправлена с $\vec{a}$; если $k+l<0$, длиннее $l\vec{a}$и сумма противоположна $\vec{a}$; если $k+l=0$, сумма равна $\vec{0}$. Во всех случаях $k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}$.

3) Второй распределительный закон.

При $k=0$ обе части равны $\vec{0}$. Пусть $k\ne 0$.

а) Векторы $\vec{a}$и $\vec{b}$не коллинеарны. Отложим от точки $O$ векторы $\overrightarrow{O{A}_1}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ — векторы $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AB}=k\vec{b}$(рис. 420).

Треугольники $O{A}_1{B}_1$ и $OAB$ подобны по второму признаку: $\frac{OA}{O{A}_1}=\frac{AB}{A_1{B}_1}=|k|$, а углы при вершинах $A_1$ и $A$ равны — их стороны направлены по векторам $-\vec{a}$, $\vec{b}$и $-k\vec{a}$, $k\vec{b}$, то есть по тем же (при $k>0$) или противоположным (при $k<0$) лучам. Поэтому $OB=|k|\cdot O{B}_1$ и $\angle AOB=\angle A_{1}O{B}_1$.

При $k>0$ точки $A$ и $A_1$ лежат на одном луче, а $B$ и $B_1$ — по одну сторону от прямой $OA$, значит, лучи $OB$ и $O{B}_1$ совпадают. При $k<0$ вся картинка повёрнута на $180^{\circ }$ вокруг $O$, и лучи $OB$ и $O{B}_1$ противоположны. В обоих случаях

С другой стороны, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec{a}+k\vec{b}$. Значит, $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.

б) Векторы коллинеарны. Если $\vec{a}=\vec{0}$, равенство очевидно. Иначе $\vec{b}=t\vec{a}$для некоторого числа $t$, и по свойствам 1) и 2):

Все три свойства доказаны.