Номер 1370 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1370. Даны четырёхугольник $A BC D$ и точка $O$ . Точки $E$ , $F$ , $G$ и $H$ симметричны точке $O$ относительно середин сторон $A B$ , $BC$ , $C D$ и $D A$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $EFG H$ ?

Дано:

четырёхугольник $A BC D$ , точка $O$

$E$ , $F$ , $G$ , $H$ симметричны $O$ относительно середин $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$

Найти:

вид четырёхугольника $EFG H$

Решение:

Чертёж к задаче 1370 — четырёхугольник ABCD, точка O, середины сторон и симметричные O точки E, F, G, H, образующие параллелограмм

1) Пусть $K$ — середина $A B$ . Точка $E$ симметрична $O$ относительно $K$ , поэтому $K$ — середина $OE$ и $OE = 2 O K$ . По задаче 1 п. 92 $O K = \frac{1}{2} (O A + OB)$ . Значит,

OE = O A + OB, OF = OB + OC, OG = OC + O D, O H = O D + O A

2) Найдём стороны четырёхугольника $EFG H$ :

EF = OF - OE = OC - O A = A C

H G = OG - O H = OC - O A = A C

Аналогично $FG = E H = B D$ .

3) Итак, $EF = H G$ : стороны $EF$ и $H G$ равны и параллельны. Точки $E$ , $F$ , $G$ не лежат на одной прямой, так как векторы $EF = A C$ и $FG = B D$ не коллинеарны (диагонали четырёхугольника не параллельны). Значит, $EFG H$ — параллелограмм.

Его стороны равны и параллельны диагоналям четырёхугольника $A BC D$ ; от положения точки $O$ параллелограмм не зависит с точностью до параллельного переноса.

Ответ: $EFG H$ — параллелограмм, стороны которого равны и параллельны диагоналям $A C$ и $B D$ .

Номер 1370 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели