Номер 1371 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $e_{1} = \frac{A B}{∣ A B ∣}$ , $e_{2} = \frac{A C}{∣ A C ∣}$

Доказать:

$e_{1} + e_{2}$ направлен вдоль биссектрисы $∠ A$ , $e_{1} - e_{2}$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при $A$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1371 — угол A, единичные векторы e1 и e2 на его сторонах, ромб на них, диагонали e1 + e2 и e1 − e2

1) Векторы $e_{1}$ и $e_{2}$ сонаправлены с $A B$ и $A C$ и имеют длину 1:

∣ e_{1} ∣ = \frac{∣ A B ∣}{∣ A B ∣} = 1, ∣ e_{2} ∣ = 1

2) Отложим их от точки $A$ : $A E_{1} = e_{1}$ , $A E_{2} = e_{2}$ ; $E_{1}$ лежит на луче $A B$ , $E_{2}$ — на луче $A C$ . Векторы не коллинеарны, построим параллелограмм $A E_{1} S E_{2}$ . Его смежные стороны равны ( $A E_{1} = A E_{2} = 1$ ), значит, это ромб.

3) По правилу параллелограмма $e_{1} + e_{2} = A S$ — диагональ ромба. Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому луч $A S$ — биссектриса угла $E_{1} A E_{2}$ , то есть угла $B A C$ . Значит, $e_{1} + e_{2}$ направлен вдоль биссектрисы угла $A$ .

4) $e_{1} - e_{2} = A E_{1} - A E_{2} = E_{2} E_{1}$ — другая диагональ ромба. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $e_{1} - e_{2}$ перпендикулярен биссектрисе угла $A$ .

5) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому биссектриса внешнего угла при вершине $A$ перпендикулярна биссектрисе угла $A$ . Через $A$ проходит только одна прямая, перпендикулярная биссектрисе, — значит, $e_{1} - e_{2}$ параллелен биссектрисе внешнего угла, то есть направлен вдоль неё, что и требовалось доказать.

Вывод: $e_{1} + e_{2}$ — диагональ ромба, лежащая на биссектрисе угла $A$ ; $e_{1} - e_{2}$ — другая диагональ, она параллельна биссектрисе внешнего угла.

Номер 1371 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели