№1372. Докажите следующее утверждение: три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа , и , одновременно не равные нулю, такие, что и для произвольной точки выполняется равенство .
Дано:
точки , , ; — произвольная точка
Доказать:
, , на одной прямой есть , не все равные 0, ,
Доказательство:
0) Сначала заметим: если и равенство верно для одной точки , то оно верно и для любой точки :
1) Пусть точки лежат на одной прямой.
Если , подойдут , , : .
Если , то лежит на прямой , векторы и коллинеарны и . По лемме о коллинеарных векторах для некоторого числа . Выразим через точку :
Числа , , не все равны нулю () и .
2) Обратное утверждение.
Пусть такие числа есть. Возьмём : , и равенство принимает вид
Если , то : векторы и коллинеарны, значит, точки , , лежат на одной прямой.
Если , то , и (иначе и — все числа нулевые). Тогда , то есть , и три точки, две из которых совпадают, лежат на одной прямой.
Утверждение доказано в обе стороны.
Вывод: точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда при и не всех нулевых .
