Номер 1373 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1373. Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Дано:

четырёхугольник $A BC D$ ; $E$ , $F$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$

$K$ , $L$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$ ; $G = K M \cap L N$

Доказать:

$E$ , $F$ , $G$ лежат на одной прямой

Доказательство:

Чертёж к задаче 1373 — четырёхугольник ABCD, его диагонали с серединами E и F, отрезки KM и LN, пересекающиеся в точке G на прямой EF

1) По задаче 979 отрезки $K M$ и $L N$ точкой пересечения $G$ делятся пополам, то есть $G$ — середина $K M$ . Возьмём произвольную точку $O$ . По формуле для середины отрезка

O K = \frac{O A + OB}{2}, OM = \frac{OC + O D}{2}

OG = \frac{O K + OM}{2} = \frac{O A + OB + OC + O D}{4}

2) Для середин диагоналей:

OE = \frac{O A + OC}{2}, OF = \frac{OB + O D}{2}

3) Сложим: $OE + OF = \frac{O A + OB + OC + O D}{2} = 2 OG$ , то есть

1 \cdot OE + 1 \cdot OF + (- 2) \cdot OG = 0

Числа $1$ , $1$ , $- 2$ не равны нулю одновременно и $1 + 1 - 2 = 0$ . По задаче 1372 точки $E$ , $F$ , $G$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Кроме того, $OG = \frac{1}{2} (OE + OF)$ , поэтому $G$ — середина отрезка $EF$ . Если $A BC D$ — параллелограмм, точки $E$ , $F$ , $G$ совпадают.

Вывод: середины диагоналей $E$ , $F$ и точка $G$ лежат на одной прямой ( $G$ — середина $EF$ ).

Номер 1373 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели