Номер 1374 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Замечание. Биссектриса внешнего угла при $A$ параллельна $BC$, если $b=c$. Раз все три точки существуют, треугольник разносторонний: $a\ne b$, $b\ne c$, $c\ne a$.

1) Лемма: $\frac{A_{1}B}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$, и $A_1$ лежит вне отрезка $BC$.

Пусть луч $AD$ — продолжение стороны $BA$ за точку $A$, $\phi =\angle DA{A}_1=\angle A_{1}AC$ — половина внешнего угла. Тогда $\angle BA{A}_1=180^{\circ }-\phi$. Треугольники $AB{A}_1$ и $AC{A}_1$ имеют общую высоту из вершины $A$, поэтому

Точки отрезка $BC$ (кроме концов) лежат внутри угла $BAC$, а прямая $A{A}_1$ проходит через внешние углы, поэтому $A_1$ лежит вне отрезка $BC$.

2) Векторная запись.

Так как $A_1$ вне отрезка $BC$, векторы $\overrightarrow{A_{1}B}$ и $\overrightarrow{A_{1}C}$ сонаправлены, а по лемме $b\cdot A_{1}B=c\cdot A_{1}C$. Значит, $b\overrightarrow{A_{1}B}=c\overrightarrow{A_{1}C}$. Для произвольной точки $O$:

Точно так же для $B_1$ на прямой $CA$ ($\frac{B_{1}C}{B_{1}A}=\frac{a}{c}$) и $C_1$ на прямой $AB$ ($\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=\frac{b}{a}$):

3) Сложим три равенства: правые части в сумме дают $\vec{0}$.

Коэффициенты не равны нулю и $(b-c)+(c-a)+(a-b)=0$. По задаче 1372 точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.