Номер 1375 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ — неравносторонний; $H$ — ортоцентр, $O$ — центр описанной окружности

$G$ — точка пересечения медиан

Доказать:

$G \in H O$ , $\frac{H G}{GO} = 2$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1375 — треугольник ABC, ортоцентр H, центроид G, центр описанной окружности O на одном отрезке, векторы AH и OA1

1) Пусть $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — середины сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ . Точка $G$ делит медианы в отношении $2 : 1$ от вершины, поэтому

G A = - 2 G A_{1}, GB = - 2 G B_{1}, GC = - 2 G C_{1}

2) Отметим точку $H^{'}$ , для которой $G H^{'} = - 2 GO$ . Тогда

A H^{'} = G H^{'} - G A = - 2 GO + 2 G A_{1} = 2 (G A_{1} - GO) = 2 O A_{1}

Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$ , проходящем через $A_{1}$ . Если $O \neq = A_{1}$ , то $O A_{1} ⊥ BC$ , а значит, $A H^{'} ∥ O A_{1}$ и прямая $A H^{'}$ перпендикулярна $BC$ : точка $H^{'}$ лежит на прямой, содержащей высоту из вершины $A$ . Если же $O = A_{1}$ (угол $A$ прямой), то $A H^{'} = 0$ , $H^{'} = A$ — и снова $H^{'}$ на этой прямой.

3) Точно так же $B H^{'} = 2 O B_{1}$ и $C H^{'} = 2 O C_{1}$ , поэтому $H^{'}$ лежит и на двух других прямых, содержащих высоты. Значит, $H^{'} = H$ и

G H = - 2 GO

4) Точки $O$ и $G$ различны: если бы $O = G$ , то медианы лежали бы на серединных перпендикулярах, и каждая медиана была бы высотой — треугольник был бы равносторонним. Поэтому $GO \neq = 0$ , векторы $G H$ и $GO$ противоположно направлены, то есть $G$ лежит на отрезке $H O$ , и

H G = 2 GO \Rightarrow \frac{H G}{GO} = 2

Это и требовалось доказать.

Вывод: точка $G$ лежит на отрезке $H O$ и $H G : GO = 2 : 1$ .

Номер 1375 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели