Номер 1376 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1376. Вершины четырёхугольника $A BC D$ имеют координаты $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ и $D (x_{4}; y_{4})$ . Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда $x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4}$ и $y_{1} + y_{3} = y_{2} + y_{4}$ .

Дано:

четырёхугольник $A BC D$ : $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2}), C (x_{3}; y_{3}), D (x_{4}; y_{4})$

Доказать:

$A BC D$ — параллелограмм $\Leftrightarrow$ $x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4}$ и $y_{1} + y_{3} = y_{2} + y_{4}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1376 — параллелограмм ABCD на координатной плоскости, его диагонали пересекаются в общей середине M

1) Найдём координаты середин диагоналей $A C$ и $B D$ :

M_{1} (\frac{x _{1} + x _{3}}{2}; \frac{y _{1} + y _{3}}{2}), M_{2} (\frac{x _{2} + x _{4}}{2}; \frac{y _{2} + y _{4}}{2})

Точки $M_{1}$ и $M_{2}$ совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их координаты, то есть когда

x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4} и y_{1} + y_{3} = y_{2} + y_{4}

2) Если $A BC D$ — параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому середины $A C$ и $B D$ совпадают — равенства выполнены.

3) Обратно, если равенства выполнены, то $M_{1} = M_{2} = M$ . Точка $M$ лежит на обеих диагоналях и делит каждую пополам. По признаку параллелограмма (диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам) $A BC D$ — параллелограмм.

Утверждение доказано в обе стороны.

Вывод: $A BC D$ — параллелограмм тогда и только тогда, когда $x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4}$ и $y_{1} + y_{3} = y_{2} + y_{4}$ .

Номер 1376 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели