Номер 1377 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1377. Даны две точки $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ . Докажите, что координаты $(x; y)$ точки $C$ , делящей отрезок $A B$ в отношении $λ$ (т. е. $\frac{A C}{CB} = λ$ ), выражаются формулами $x = \frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}$ , $y = \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}$ .

Дано:

$A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x; y) \in A B$ , $\frac{A C}{CB} = λ$

Доказать:

$x = \frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}$ , $y = \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1377 — отрезок AB на координатной плоскости и точка C на нём, AC : CB = 2

1) Точка $C$ лежит на отрезке $A B$ , поэтому векторы $A C$ и $CB$ сонаправлены, а их длины относятся как $λ$ . Значит,

A C = λ CB

2) Координаты этих векторов: $A C {x - x_{1}; y - y_{1}}$ , $CB {x_{2} - x; y_{2} - y}$ . Равные векторы имеют равные координаты, поэтому отношение соответствующих координат векторов $A C$ и $CB$ равно $λ$ :

x - x_{1} = λ (x_{2} - x), y - y_{1} = λ (y_{2} - y)

3) Выразим $x$ (так как $λ > 0$ , то $1 + λ \neq = 0$ ):

x + λ x = x_{1} + λ x_{2} \Rightarrow x = \frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}

Аналогично

y = \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}

При $λ = 1$ получаются известные формулы координат середины отрезка. Утверждение доказано.

Вывод: $x = \frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}$ , $y = \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}$ .

Номер 1377 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели