Номер 1417 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ.

Пусть треугольник $ABC$ построен. Высота правильного треугольника, проведённая из $C$, является серединным перпендикуляром к $AB$. Она лежит на $l$, поэтому $B$ симметрична $A$ относительно $l$. Так как $A\in {\omega }_1$, то $B$ лежит на окружности ${\omega }_1^{\prime }$, симметричной ${\omega }_1$ относительно $l$. Значит, $B$ — общая точка ${\omega }_1^{\prime }$ и ${\omega }_2$.

Построение.

1) Строим центр $O_1^{\prime }$, симметричный центру $O_1$ окружности ${\omega }_1$ относительно $l$, и окружность ${\omega }_1^{\prime }$ того же радиуса с центром $O_1^{\prime }$.

2) $B$ — точка пересечения ${\omega }_1^{\prime }$ и ${\omega }_2$, не лежащая на $l$.

3) $A$ — точка, симметричная $B$ относительно $l$ (перпендикуляр из $B$ к $l$ и равный отрезок за прямой).

4) На отрезке $AB$ строим правильный треугольник $ABC$ (циркулем: $CA=CB=AB$).

Доказательство.

$A\in {\omega }_1$, так как $B\in {\omega }_1^{\prime }$ и ${\omega }_1$ симметрична ${\omega }_1^{\prime }$; $B\in {\omega }_2$. Прямая $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$, вершина $C$ равноудалена от $A$ и $B$, поэтому лежит на $l$, а высота из $C$ — это отрезок прямой $l$.

Исследование.

Каждой общей точке ${\omega }_1^{\prime }$ и ${\omega }_2$, не лежащей на $l$, соответствуют два треугольника ($C$ по одну или по другую сторону от $AB$). Окружности ${\omega }_1^{\prime }$ и ${\omega }_2$ могут иметь 0, 1 или 2 общие точки, поэтому задача имеет 0, 2 или 4 решения (если ${\omega }_1^{\prime }$ совпадает с ${\omega }_2$ — бесконечно много).