Номер 1418 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ.

При центральной симметрии с центром $M$ вершина $O$ переходит в точку $O^{\prime }$ прямой $OB$ с $M{O}^{\prime }=MO$ (по другую сторону от $M$, то есть в доступной части). Так как $O$ лежит на прямой $OA$, точка $O^{\prime }$ лежит на прямой $a^{\prime }$, симметричной $OA$ относительно $M$. Значит, $O^{\prime }$ — точка пересечения $a^{\prime }$ с прямой $OB$.

Построение.

1) Отметим на стороне $OA$ две точки $P$ и $Q$.

2) Проведём прямые $PM$ и $QM$ и отложим за точкой $M$ отрезки $M{P}^{\prime }=MP$, $M{Q}^{\prime }=MQ$.

3) Проведём прямую $a^{\prime }=P^{\prime }{Q}^{\prime }$ и отметим точку $O^{\prime }$ её пересечения с прямой $OB$ (продолжением стороны за точку $M$).

4) $M{O}^{\prime }$ — искомый отрезок.

Доказательство.

Точки $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ симметричны $P$, $Q$ относительно $M$, поэтому $a^{\prime }$ — образ прямой $OA$ при этой симметрии; $a^{\prime }\parallel OA$. Образ прямой $OB$ — она сама ($M\in OB$). Значит, образ $O$ — общая точка $a^{\prime }$ и $OB$, то есть $O^{\prime }$, и $M{O}^{\prime }=MO$. Прямые $a^{\prime }$ и $OB$ пересекаются, так как $OA$ и $OB$ не параллельны; задача имеет единственное решение.

Если точка $M$ лежит на стороне $OA$, поступаем так же, отражая прямую $OB$.