Номер 1419 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

окружности $ω_{1} (O_{1}; r_{1})$ и $ω_{2} (O_{2}; r_{2})$ пересекаются в точке $P$

Построить:

отрезок $X Y$ : $X \in ω_{1}$ , $Y \in ω_{2}$ , $P$ — середина $X Y$

Анализ.

Чертёж к задаче 1419 — две пересекающиеся окружности, окружность ω₁′, симметричная ω₁ относительно точки P, и отрезок XY с серединой P

Если $P$ — середина $X Y$ , то $Y$ симметрична $X$ относительно $P$ . Так как $X \in ω_{1}$ , точка $Y$ лежит на окружности $ω_{1}^{'}$ , симметричной $ω_{1}$ относительно $P$ . Итак, $Y$ — общая точка $ω_{1}^{'}$ и $ω_{2}$ .

Построение.

1) На продолжении $O_{1} P$ за точку $P$ отложим $P O_{1}^{'} = O_{1} P$ и проведём окружность $ω_{1}^{'}$ с центром $O_{1}^{'}$ радиуса $r_{1}$ (она проходит через $P$ ).

2) $Y$ — вторая (отличная от $P$ ) точка пересечения $ω_{1}^{'}$ и $ω_{2}$ .

3) На продолжении $Y P$ за точку $P$ отложим $PX = P Y$ . $X Y$ — искомый отрезок.

Доказательство.

$X$ симметрична $Y$ относительно $P$ , а $Y \in ω_{1}^{'}$ , поэтому $X \in ω_{1}$ ; $Y \in ω_{2}$ , и $P$ — середина $X Y$ по построению.

Исследование.

Окружности $ω_{1}^{'}$ и $ω_{2}$ проходят через $P$ . Они касаются в $P$ только тогда, когда $O_{1}^{'}$ , $P$ , $O_{2}$ лежат на одной прямой, то есть когда $P$ лежит на прямой $O_{1} O_{2}$ . Но общие точки пересекающихся окружностей симметричны относительно линии центров и на ней не лежат. Значит, вторая точка $Y$ всегда есть, и для выбранной точки $P$ задача имеет ровно одно решение (для второй точки пересечения — ещё одно).

Ответ: конец $Y$ — вторая общая точка $ω_{2}$ с окружностью, симметричной $ω_{1}$ относительно $P$ , $X$ симметрична $Y$ относительно $P$ .

Номер 1419 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели