Номер 1420 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

отрезки $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$

Построить:

$△ A BC$ , у которого $A A_{1} = m_{a}$ , $BM = m_{b}$ , $C C_{1} = m_{c}$

Анализ.

Чертёж к задаче 1420 — треугольник ABC с медианами, точка O их пересечения и точка O₁, симметричная O относительно середины M стороны AC

Пусть треугольник $A BC$ построен, $O$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $A C$ , $O_{1}$ — точка, симметричная $O$ относительно $M$ . Медианы делятся точкой $O$ в отношении $2 : 1$ , считая от вершины:

A O = \frac{2}{3} m_{a}, OC = \frac{2}{3} m_{c}, OM = \frac{1}{3} m_{b}

Диагонали $A C$ и $O O_{1}$ четырёхугольника $A OC O_{1}$ делятся точкой $M$ пополам, значит, это параллелограмм и $A O_{1} = OC$ . Стороны треугольника $A O O_{1}$ :

A O = \frac{2}{3} m_{a}, O O_{1} = 2 OM = \frac{2}{3} m_{b}, A O_{1} = \frac{2}{3} m_{c}

Построение.

1) Строим отрезки $\frac{2}{3} m_{a}$ , $\frac{2}{3} m_{b}$ , $\frac{2}{3} m_{c}$ (делим медианы на три равные части) и по ним — треугольник $A O O_{1}$ .

2) $M$ — середина $O O_{1}$ ; на продолжении $A M$ за точку $M$ откладываем $MC = A M$ .

3) На луче $MO$ откладываем $MB = m_{b}$ . Треугольник $A BC$ — искомый.

Доказательство.

$M$ — середина $A C$ , поэтому $BM$ — медиана, $BM = m_{b}$ , и $MO = \frac{1}{3} m_{b}$ , то есть $O$ делит медиану $BM$ в отношении $2 : 1$ и является точкой пересечения медиан. Тогда $A A_{1} = \frac{3}{2} A O = m_{a}$ , а $A OC O_{1}$ — параллелограмм, поэтому $C C_{1} = \frac{3}{2} OC = \frac{3}{2} A O_{1} = m_{c}$ .

Исследование.

Решение существует и единственно (с точностью до равенства), когда из отрезков $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ можно составить треугольник, то есть каждый из них меньше суммы двух других.

Ответ: сначала строим треугольник $A O O_{1}$ со сторонами $\frac{2}{3} m_{a}$ , $\frac{2}{3} m_{b}$ , $\frac{2}{3} m_{c}$ , затем середину $M$ отрезка $O O_{1}$ , вершины $C$ и $B$ .

Номер 1420 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели