Номер 1421 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

основания $a$ и $b$ $(a > b)$ , боковые стороны $c$ и $d$

Построить:

трапецию $A BC D$ : $A B = a$ , $C D = b$ , $BC = c$ , $A D = d$

Анализ.

Чертёж к задаче 1421 — трапеция ABCD, точка D′ — образ D при переносе на вектор AB, треугольник BCD′ закрашен

Пусть трапеция $A BC D$ с основаниями $A B = a$ , $C D = b$ построена. При параллельном переносе на вектор $A B$ точка $A$ переходит в $B$ , $D$ — в точку $D^{'}$ . Тогда $B D^{'} = A D = d$ , а $D D^{'} = A B$ : точка $D^{'}$ лежит на прямой $D C$ , $D D^{'} = a$ , и

C D^{'} = D D^{'} - D C = a - b

Треугольник $BC D^{'}$ имеет стороны $a - b$ , $c$ , $d$ — его можно построить.

Построение.

1) Строим треугольник $BC D^{'}$ со сторонами $C D^{'} = a - b$ , $BC = c$ , $B D^{'} = d$ .

2) На луче $D^{'} C$ откладываем $D^{'} D = a$ (точка $D$ — за точкой $C$ ).

3) Переносом точки $B$ на вектор $D^{'} D$ получаем точку $A$ (проводим через $B$ прямую, параллельную $D D^{'}$ , и откладываем $B A = a$ ). $A BC D$ — искомая трапеция.

Доказательство.

$A B D^{'} D$ — параллелограмм ( $B A = D^{'} D$ ), поэтому $A B ∥ D C$ , $A B = a$ , $A D = B D^{'} = d$ ; $D C = D D^{'} - C D^{'} = a - (a - b) = b$ , $BC = c$ . Стороны $A D$ и $BC$ не параллельны (иначе $B$ лежала бы на прямой $D C$ ), значит, $A BC D$ — трапеция.

Исследование.

Задача разрешима, если из отрезков $a - b$ , $c$ , $d$ можно составить треугольник: $∣ c - d ∣ < a - b < c + d$ . Тогда решение единственно.

Ответ: сначала строится треугольник $BC D^{'}$ со сторонами $a - b$ , $c$ , $d$ , затем трапеция достраивается переносом на вектор $A B$ ; условие разрешимости $∣ c - d ∣ < a - b < c + d$ .

Номер 1421 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели