Номер 1423 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

прямая $a$ , окружность $ω$ , точка $A \in / a$ , $A \in / ω$

Построить:

квадрат $A BC D$ : $B \in a$ , $D \in ω$

Анализ.

Чертёж к задаче 1423 — прямая a, её образ a′ при повороте вокруг A на 90°, окружность ω и квадрат ABCD

В квадрате $A BC D$ $A D = A B$ и $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ , поэтому $D$ — образ $B$ при повороте вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ (в ту или другую сторону). Так как $B \in a$ , точка $D$ лежит на прямой $a^{'}$ — образе $a$ при этом повороте, то есть $D$ — общая точка $a^{'}$ и $ω$ .

Построение.

1) Проведём перпендикуляр $A H$ к прямой $a$ . Повернём его вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ : построим $A H^{'} ⊥ A H$ , $A H^{'} = A H$ .

2) Через $H^{'}$ проведём прямую $a^{'} ⊥ A H^{'}$ — это образ прямой $a$ при повороте (поворот сохраняет углы, и $a ⊥ A H$ ).

3) $D$ — точка пересечения $a^{'}$ и $ω$ .

4) Повернём $D$ вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ в обратную сторону: построим $A B ⊥ A D$ , $A B = A D$ с той стороны, где $B$ попадает на $a$ . Четвёртая вершина $C$ : $BC = A D$ .

Доказательство.

$D$ лежит на $a^{'}$ , поэтому его прообраз $B$ при повороте лежит на $a$ ; $D \in ω$ . $A B = A D$ , $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ , $BC = A D$ — значит, $A BC D$ — квадрат.

Исследование.

Поворотов на $9 0^{\circ}$ два (по и против часовой стрелки), они дают две прямые $a^{'}$ . Каждая пересекает $ω$ не более чем в двух точках (на рисунке вторая точка — $D_{2}$ ). Поэтому задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: вершина $D$ — точка пересечения окружности с образом прямой $a$ при повороте вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ ; $B$ — образ $D$ при обратном повороте; от 0 до 4 решений.

Номер 1423 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели