Номер 1424 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ.

Пусть квадрат $KLMN$ построен. $OM=ON$ (радиусы), поэтому $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $MN$, а он — ось симметрии квадрата. Значит, $K$ и $L$ симметричны относительно этой оси, $OK=OL$, и ось — биссектриса угла $AOB$. Если же взять любой квадрат $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$ с $K^{\prime }\in OA$, $L^{\prime }\in OB$, $O{K}^{\prime }=O{L}^{\prime }$ и стороной $M^{\prime }{N}^{\prime }$ дальше от $O$, то он гомотетичен искомому с центром $O$ (как в задаче 2 п. 137).

Построение.

1) На радиусах отложим равные отрезки $O{K}^{\prime }=O{L}^{\prime }$ и на $K^{\prime }{L}^{\prime }$ построим квадрат $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$ в сторону дуги.

2) Проведём лучи $O{M}^{\prime }$ и $O{N}^{\prime }$ до пересечения с дугой в точках $M$ и $N$.

3) Через $M$ и $N$ проведём прямые, параллельные $M^{\prime }{L}^{\prime }$ (перпендикулярно $MN$), до пересечения с $OB$ и $OA$ в точках $L$ и $K$. $KLMN$ — искомый квадрат.

Доказательство.

Фигура симметрична относительно биссектрисы угла $AOB$, поэтому $O{M}^{\prime }=O{N}^{\prime }$ и $\frac{OM}{O{M}^{\prime }}=\frac{ON}{O{N}^{\prime }}=k$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит $M^{\prime }\to M$, $N^{\prime }\to N$, прямые $M^{\prime }{L}^{\prime }$ и $N^{\prime }{K}^{\prime }$ — в параллельные им прямые через $M$ и $N$, а радиусы — в себя. Значит, $L^{\prime }\to L$, $K^{\prime }\to K$, и квадрат $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$ переходит в $KLMN$ — тоже квадрат. Его вершины $M$, $N$ на дуге, $K\in OA$, $L\in OB$.

Исследование.

Из анализа следует, что ось искомого квадрата — биссектриса угла, поэтому квадрат единственный.