Номер 1425 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

отрезки $a$ , $m$ , $n$ , $m < n$

Построить:

прямоугольник $A BC D$ : $A B = a$ , $BC : A C = m : n$

Анализ.

Чертёж к задаче 1425 — прямоугольник ABCD и подобный треугольнику ABC прямоугольный треугольник AB′C′ с катетом m и гипотенузой n

Треугольник $A BC$ прямоугольный, $∠ B = 9 0^{\circ}$ , и $\frac{BC}{A C} = \frac{m}{n}$ . Прямоугольный треугольник $A B^{'} C^{'}$ с катетом $B^{'} C^{'} = m$ и гипотенузой $A C^{'} = n$ имеет такое же отношение катета к гипотенузе, поэтому подобен $A BC$ (по гипотенузе и катету: стороны пропорциональны, $A B^{'} = n^{2} - m^{2}$ ). Значит, угол $A$ у них общий.

Построение.

1) Строим прямоугольный треугольник $A B^{'} C^{'}$ : прямой угол $B^{'}$ , катет $B^{'} C^{'} = m$ , гипотенуза $A C^{'} = n$ (засечка радиусом $n$ из $C^{'}$ на прямой, перпендикулярной $B^{'} C^{'}$ ). Это возможно, так как $m < n$ .

2) На луче $A B^{'}$ откладываем $A B = a$ .

3) Через $B$ проводим перпендикуляр к $A B$ ; он пересекает луч $A C^{'}$ в точке $C$ .

4) Через $A$ и $C$ проводим прямые, параллельные $BC$ и $A B$ ; их пересечение — $D$ .

Доказательство.

$A BC D$ — прямоугольник с $A B = a$ . $B^{'} C^{'} ∥ BC$ (оба перпендикулярны $A B$ ), поэтому $△ A B^{'} C^{'} \sim △ A BC$ и

\frac{BC}{A C} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{m}{n}

Исследование.

При $m < n$ задача всегда имеет единственное решение (с точностью до расположения).

Ответ: угол $C A B$ берётся из прямоугольного треугольника с катетом $m$ и гипотенузой $n$ ; на его стороне $A B = a$ , $BC ⊥ A B$ , затем достраиваем прямоугольник.

Номер 1425 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели