Номер 1426 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

отрезки $a$ , $m$ , $n$

Построить:

ромб $A BC D$ : $A B = a$ , $B D : A C = m : n$

Анализ.

Чертёж к задаче 1426 — вспомогательный ромб AB′C′D′ с диагоналями m и n и гомотетичный ему ромб ABCD со стороной a

Все ромбы с отношением диагоналей $m : n$ подобны: половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, и отношение катетов задаёт его углы, а значит, и углы ромба. Поэтому построим любой такой ромб, а затем изменим его размер гомотетией.

Построение.

1) Строим ромб $A B^{'} C^{'} D^{'}$ с диагоналями $A C^{'} = n$ и $B^{'} D^{'} = m$ : проводим $A C^{'} = n$ , через его середину $O^{'}$ — перпендикуляр и откладываем на нём $O^{'} B^{'} = O^{'} D^{'} = \frac{m}{2}$ .

2) На луче $A B^{'}$ откладываем $A B = a$ .

3) Через $B$ проводим прямую, параллельную $B^{'} C^{'}$ , до пересечения с лучом $A C^{'}$ в точке $C$ ; через $C$ — прямую, параллельную $C^{'} D^{'}$ , до пересечения с лучом $A D^{'}$ в точке $D$ .

Доказательство.

Гомотетия с центром $A$ и $k = \frac{A B}{A B ^{'}} = \frac{a}{A B ^{'}}$ переводит $B^{'} \to B$ , а прямые $B^{'} C^{'}$ , $C^{'} D^{'}$ — в параллельные им прямые, поэтому $C^{'} \to C$ , $D^{'} \to D$ . Ромб переходит в ромб $A BC D$ со стороной $A B = a$ , все длины умножаются на $k$ :

\frac{B D}{A C} = \frac{k \cdot B ^{'} D ^{'}}{k \cdot A C ^{'}} = \frac{m}{n}

Исследование.

При любых отрезках $a$ , $m$ , $n$ решение существует и единственно (с точностью до равенства).

Ответ: строим ромб с диагоналями $n$ и $m$ , затем гомотетией с центром в его вершине и $k = \frac{a}{A B ^{'}}$ получаем ромб со стороной $a$ .

Номер 1426 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели