Номер 1427 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ.

Пусть $KLM$ построен и $KL\perp BC$. Без условия $M\in CA$ таких треугольников много, и все они гомотетичны с центром $B$: это метод задачи 2 п. 137. Строим любой из них и подбираем коэффициент так, чтобы третья вершина попала на $CA$.

Построение.

1) Возьмём на $BC$ точку $L^{\prime }$, проведём через неё перпендикуляр к $BC$ до пересечения с $BA$ в точке $K^{\prime }$.

2) На $K^{\prime }{L}^{\prime }$ построим правильный треугольник $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }$ так, чтобы $M^{\prime }$ лежала внутри угла $B$ по другую сторону от $K^{\prime }{L}^{\prime }$, чем $B$.

3) Луч $B{M}^{\prime }$ пересекает $AC$ в точке $M$. Через $M$ проводим прямые, параллельные $M^{\prime }{K}^{\prime }$ и $M^{\prime }{L}^{\prime }$, до пересечения с $BA$ и $BC$ в точках $K$ и $L$.

Доказательство.

Гомотетия с центром $B$ и $k=\frac{BM}{B{M}^{\prime }}$ переводит $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }$ в $KLM$, поэтому $KLM$ — правильный треугольник и $KL\parallel K^{\prime }{L}^{\prime }$, то есть $KL\perp BC$. Найдём остальные углы:

В треугольнике $LMC$: $\angle LMC=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$, то есть $LM\perp CA$. Далее $\angle KMA=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, и в треугольнике $AKM$: $\angle AKM=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$, $MK\perp AB$.

Из прямоугольных треугольников с углами $30^{\circ }$ получаем $BL=\frac{1}{2}BK$, $CM=\frac{1}{2}CL$, $AK=\frac{1}{2}AM$, откуда $BL=CM=AK=\frac{1}{3}BC$: вершины $KLM$ делят стороны $ABC$ в отношении $1:2$.

Исследование.

Решений два: второе симметрично первому относительно высоты треугольника $ABC$ (вершины делят стороны в отношении $2:1$).