Номер 1428 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1428. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках $M$ и $N$ , а другая — в точках $P$ и $Q$ . Докажите, что эти окружности на прямой $MQ$ отсекают равные хорды.

Дано:

угол с вершиной $S$ , окружность $ω_{1}$ касается сторон в $M$ и $N$ , $ω_{2}$ — в $P$ и $Q$

$M$ , $P$ — на одной стороне, $N$ , $Q$ — на другой

Доказать:

хорды $MX$ и $Y Q$ , высекаемые на прямой $MQ$ , равны

Доказательство:

Чертёж к задаче 1428 — угол с двумя вписанными окружностями, касательные отрезки MP и NQ и равные хорды MX и YQ на прямой MQ

Пусть прямая $MQ$ пересекает $ω_{1}$ ещё в точке $X$ , а $ω_{2}$ — ещё в точке $Y$ . Хорды — $MX$ и $Q Y$ .

1) $MP = NQ$ . Отрезки касательных из вершины угла к одной окружности равны: $SM = SN$ , $SP = SQ$ . Поэтому

MP = ∣ SP - SM ∣ = ∣ SQ - SN ∣ = NQ

2) Прямая $SQ$ касается $ω_{1}$ в точке $N$ , поэтому из точки $Q$ (п. 136):

Q N^{2} = QX \cdot QM

Прямая $SM$ касается $ω_{2}$ в точке $P$ , поэтому из точки $M$ :

M P^{2} = M Y \cdot MQ

3) Левые части равны (п. 1), значит, $QX \cdot QM = M Y \cdot MQ$ и $QX = M Y$ .

4) Точка $X$ лежит на луче $QM$ , точка $Y$ — на луче $MQ$ , поэтому

MX = ∣ QM - QX ∣ = ∣ MQ - M Y ∣ = Y Q

Хорды, отсекаемые окружностями на прямой $MQ$ , равны, что и требовалось доказать.

Вывод: $MX = Y Q$ : из $MP = NQ$ и $Q N^{2} = QX \cdot QM$ , $M P^{2} = M Y \cdot MQ$ следует $QX = M Y$ .

Номер 1428 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели