Номер 1429 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ.

Пусть секущая построена: $B$ — ближняя к $A$ точка пересечения, $AB=2BC$. Тогда $AC=3BC$ и $AB=\frac{2}{3}AC$: точка $B$ — образ точки $C\in \omega$ при гомотетии с центром $A$ и $k=\frac{2}{3}$. Значит, $B$ лежит на окружности ${\omega }^{\prime }$ — образе $\omega$ при этой гомотетии, то есть $B$ — общая точка $\omega$ и ${\omega }^{\prime }$.

Построение.

1) Делим отрезок $AO$ на три равные части и отмечаем точку $O^{\prime }$ с $A{O}^{\prime }=\frac{2}{3}AO$.

2) Проводим окружность ${\omega }^{\prime }$ с центром $O^{\prime }$ и радиусом $\frac{2}{3}R$.

3) $B$ — общая точка $\omega$ и ${\omega }^{\prime }$; прямая $AB$ — искомая секущая, $C$ — её вторая точка пересечения с $\omega$.

Доказательство.

Гомотетия переводит $\omega$ в ${\omega }^{\prime }$, поэтому прообраз $C_0$ точки $B\in {\omega }^{\prime }$ лежит на $\omega$ и на луче $AB$, причём $AB=\frac{2}{3}A{C}_0$. Луч $AB$ пересекает $\omega$ не более чем в двух точках, и $C_0\ne B$, значит, $C_0=C$. Тогда $BC=AC-AB=\frac{1}{3}AC$ и $AB=\frac{2}{3}AC=2BC$.

Проверка через степень точки: если $BC=x$, то $AB=2x$, $AC=3x$ и $AB\cdot AC=6x^2=d^2-R^2$, то есть $x=\sqrt{\frac{d^2-R^2}{6}}$.

Исследование.

Окружности $\omega$ и ${\omega }^{\prime }$ имеют общие точки, когда расстояние между центрами $O{O}^{\prime }=\frac{d}{3}$ не меньше разности радиусов $R-\frac{2}{3}R=\frac{R}{3}$ и не больше их суммы $\frac{5}{3}R$. Первое верно ($d>R$), второе даёт $d\le 5R$ (хорда $BC=x$ не длиннее диаметра). При $R<d<5R$ — два решения (симметричных относительно $AO$), при $d=5R$ — одно (секущая проходит через центр), при $d>5R$ решений нет.

Замечание: в указании учебника центр гомотетии назван «точкой пересечения высот», но по смыслу задачи это точка $A$.