Номер 1430 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1430. Отрезок $B D$ — биссектриса треугольника $A BC$ . Докажите, что $B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C$ .

Дано:

$△ A BC$ , $B D$ — биссектриса, $D \in A C$

Доказать:

$B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C$

Доказательство:

1) Опишем около треугольника $A BC$ окружность; луч $B D$ пересекает её ещё в точке $E$ ( $D$ — внутри круга, между $B$ и $E$ ).

2) $△ A BE \sim △ D BC$ : $∠ A BE = ∠ D BC$ ( $B D$ — биссектриса), $∠ A EB = ∠ A CB$ (вписанные углы, опирающиеся на дугу $A B$ ). Поэтому

\frac{A B}{B D} = \frac{BE}{BC} \Rightarrow A B \cdot BC = B D \cdot BE = B D (B D + D E) = B D^{2} + B D \cdot D E

3) Хорды $BE$ и $A C$ пересекаются в точке $D$ , поэтому $B D \cdot D E = A D \cdot D C$ .

4) Подставим:

A B \cdot BC = B D^{2} + A D \cdot D C \Rightarrow B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C

Что и требовалось доказать.

Вывод: $B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C$ следует из подобия $△ A BE \sim △ D BC$ и равенства $B D \cdot D E = A D \cdot D C$ .