Номер 1431 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ — неравносторонний, $H$ — ортоцентр, $O$ и $R$ — центр и радиус описанной окружности

Доказать:

девять точек лежат на окружности радиуса $\frac{R}{2}$ с центром на прямой $O H$

Доказательство:

Чертёж к задаче 1431 — треугольник ABC, описанная окружность, окружность девяти точек с центром на прямой Эйлера OH

1) Задача 909: пусть $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — точки, симметричные $H$ относительно прямых $BC$ , $C A$ , $A B$ , а $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ — относительно середин сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ . Все шесть точек лежат на описанной окружности $ω (O; R)$ .

2) Рассмотрим гомотетию $h$ с центром $H$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ : она переводит точку $X$ в середину отрезка $H X$ .

• $A_{1}$ симметрична $H$ относительно $BC$ , поэтому середина $H A_{1}$ — основание перпендикуляра из $H$ на $BC$ , то есть основание высоты из $A$ . Так же для $B_{1}$ , $C_{1}$ .

• $A_{2}$ симметрична $H$ относительно середины $BC$ , поэтому середина $H A_{2}$ — середина стороны $BC$ . Так же для $B_{2}$ , $C_{2}$ .

• Вершины $A$ , $B$ , $C$ лежат на $ω$ ; их образы — середины отрезков $H A$ , $H B$ , $H C$ .

3) Гомотетия переводит окружность $ω (O; R)$ в окружность $ω_{9}$ с центром $O_{9} = h (O)$ — серединой отрезка $O H$ — и радиусом $\frac{R}{2}$ . Все девять точек — образы точек $ω$ , поэтому лежат на $ω_{9}$ .

4) Треугольник неравносторонний, поэтому $O \neq = H$ (у равностороннего треугольника все замечательные точки совпадают) и прямая $O H$ — прямая Эйлера. Центр $O_{9}$ — середина $O H$ — лежит на ней.

O_{9} = середина O H, r_{9} = \frac{R}{2}

Что и требовалось доказать.

Вывод: окружность девяти точек — образ описанной окружности при гомотетии с центром $H$ и $k = \frac{1}{2}$ ; её центр — середина $O H$ , радиус $\frac{R}{2}$ .

Номер 1431 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели