№961. Докажите, что для любых двух векторов и справедливо неравенство . В каком случае ?
Решение:
1) Отложим произвольные векторы и от общей точки :
2) По правилу вычитания векторов разность векторов равна:
3) Рассмотрим полученный . По неравенству треугольника длина любой его стороны всегда меньше или равна сумме длин двух других сторон. Для стороны :
Перейдём от длин отрезков к длинам (модулям) соответствующих векторов:
Подставив исходные векторы, получаем требуемое неравенство:
Условие достижения равенства:
4) Равенство возможно только в вырожденном треугольнике, когда точка лежит на отрезке между точками и .
В этом случае векторы и лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Значит, равенство достигается, если векторы и противоположно направлены () либо хотя бы один из них нулевой.
Случай равенства
