Номер 1039 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поместим параллелограмм $A BC D$ в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а сторона $A D$ лежала на положительной полуоси $O x$ .

1) Тогда координаты вершин параллелограмма можно записать в следующем виде:
$A (0; 0)$ ,
$D (a; 0)$ (где $a > 0$ — длина стороны $A D$ ),
$B (b; c)$ ,
$C (a + b; c)$ (поскольку отрезок $BC$ равен и параллелен отрезку $A D$ , абсцисса точки $C$ больше абсциссы точки $B$ на $a$ , а ординаты у них одинаковые).

2) Найдём квадраты длин всех сторон параллелограмма по формуле квадрата расстояния между двумя точками:

A B^{2} = (b - 0)^{2} + (c - 0)^{2} = b^{2} + c^{2}

B C^{2} = (a + b - b)^{2} + (c - c)^{2} = a^{2} + 0 = a^{2}

C D^{2} = (a - (a + b))^{2} + (0 - c)^{2} = (- b)^{2} + (- c)^{2} = b^{2} + c^{2}

A D^{2} = (a - 0)^{2} + (0 - 0)^{2} = a^{2}

Сложим квадраты всех четырёх сторон:

A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + A D^{2} = (b^{2} + c^{2}) + a^{2} + (b^{2} + c^{2}) + a^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

3) Теперь найдём квадраты длин диагоналей $A C$ и $B D$ :

A C^{2} = (a + b - 0)^{2} + (c - 0)^{2} = (a + b)^{2} + c^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} + c^{2}

B D^{2} = (a - b)^{2} + (0 - c)^{2} = (a - b)^{2} + c^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} + c^{2}

Сложим квадраты диагоналей:

A C^{2} + B D^{2} = (a^{2} + 2 ab + b^{2} + c^{2}) + (a^{2} - 2 ab + b^{2} + c^{2}) = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

4) Сравним полученные суммы:

A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + A D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

Следовательно, $A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + A D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ . Что и требовалось доказать.

Чертёж к задаче 1039 — параллелограмм в системе координат

Номер 1039 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели