№959. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке . Выразите через векторы и векторы: , , , .
Решение:
Для каждого выражения воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами параллелограмма. По условию заданы векторы и .
1) Выражение
По правилу многоугольника (в данном случае треугольника) сумма векторов, конец первого из которых совпадает с началом второго, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго:
Вектор можно выразить через разность векторов и , исходящих из одной точки (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):
Подставляем заданные векторы и :
2) Выражение
Снова применяем правило треугольника:
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, вектор равен вектору :
3) Выражение
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, векторы и равны (они лежат на одной прямой, сонаправлены и имеют равные длины). Заменим на :
По правилу вычитания векторов разность равна вектору , но направленному от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, то есть :
Вектор противоположен вектору , который равен . Значит:
4) Выражение
Выразим векторы и через заданные и . Вектор противоположен вектору , поэтому . Аналогично, вектор противоположен вектору , поэтому .
Подставляем в выражение:
