№976. Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .
Решение:
Для доказательства существования треугольника, образованного векторами медиан, достаточно показать, что сумма векторов этих медиан равна нулевому вектору. Если сумма трёх векторов равна нулю, то из них можно составить замкнутый треугольник.
1. Выразим векторы медиан через стороны треугольника.
Вектор медианы равен полусумме векторов, образующих стороны треугольника, исходящих из той же вершины:
2. Найдем сумму векторов медиан:
Перегруппируем слагаемые, объединив противоположные векторы:
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору (например, ). Поэтому получаем:
3. Вывод:
Сумма векторов медиан равна . Следовательно, если отложить вектор , из его конца отложить вектор , а из конца второго — вектор , то конец третьего вектора совпадёт с началом первого. Образуется замкнутая фигура — треугольник.
Что и требовалось доказать.
