Номер 968 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

а) Докажем, что $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$

1. Если $\vec{a}=\vec{0}$, то по определению $1\cdot \vec{0}=\vec{0}$.

2. Если $\vec{a}\ne \vec{0}$, проверим длину и направление:

• Длина: $|1\cdot \vec{a}|=|1|\cdot |\vec{a}|=1\cdot |\vec{a}|=|\vec{a}|$
• Направление: так как $1>0$, то $1\cdot \vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}$

Векторы $1\cdot \vec{a}$и $\vec{a}$сонаправлены и имеют равные длины, значит $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$.

б) Докажем, что $(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}$

1. Если $\vec{a}=\vec{0}$, то $(-1)\cdot \vec{0}=\vec{0}$и $-\vec{0}=\vec{0}$.

2. Если $\vec{a}\ne \vec{0}$, проверим длину и направление:

• Длина: $|(-1)\cdot \vec{a}|=|-1|\cdot |\vec{a}|=1\cdot |\vec{a}|=|\vec{a}|$
• Направление: так как $-1<0$, то $(-1)\cdot \vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$

Вектор $-\vec{a}$по определению имеет длину $|\vec{a}|$ и $-\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{a}$.

Следовательно, векторы совпадают: $(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}$.