Номер 971 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

1. Выразим вектор $\overrightarrow{AM}$:

Рассмотрим треугольник $ABM$. По правилу треугольника:
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$.

Из условия известно, что $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, вектор $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{a}$.

Точка $M$ делит отрезок $BC$ в отношении $3:1$. Это значит, что весь отрезок $BC$ состоит из $3+1=4$ частей, и на долю $BM$ приходится 3 части. Следовательно, вектор $\overrightarrow{BM}$составляет $\frac{3}{4}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\vec{a}$.

Подставляем в исходное равенство:
$\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{a}=\frac{3}{4}\vec{a}+\vec{b}$.

2. Выразим вектор $\overrightarrow{MD}$:

Рассмотрим треугольник $MCD$. По правилу треугольника:
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}$.

Вектор $\overrightarrow{CD}$противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$, поэтому $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{b}$.

Вектор $\overrightarrow{MC}$составляет 1 часть из 4 от вектора $\overrightarrow{BC}$, следовательно:
$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}\vec{a}$.

Складываем векторы:
$\overrightarrow{MD}=\frac{1}{4}\vec{a}+(-\vec{b})=\frac{1}{4}\vec{a}-\vec{b}$.

Ответ: $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\vec{a}+\vec{b}$;   $\overrightarrow{MD}=\frac{1}{4}\vec{a}-\vec{b}$.