Номер 977 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства того, что из отрезков $A_{1} A_{2}$ , $B_{1} B_{2}$ и $C_{1} C_{2}$ можно составить треугольник, достаточно доказать, что сумма векторов $A_{1} A_{2}$ , $B_{1} B_{2}$ и $C_{1} C_{2}$ равна нулевому вектору.

1. Использование свойств параллелограммов.
По условию на сторонах треугольника $A BC$ построены параллелограммы $A B B_{1} A_{2}$ , $BC C_{1} B_{2}$ и $A C C_{2} A_{1}$ . В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, соответствующие векторы равны:

Из параллелограмма $A B B_{1} A_{2}$ : $A A_{2} = B B_{1}$
Из параллелограмма $BC C_{1} B_{2}$ : $B B_{2} = C C_{1}$
Из параллелограмма $A C C_{2} A_{1}$ : $C C_{2} = A A_{1}$

2. Выражение векторов искомых отрезков.
По правилу треугольника выразим каждый из векторов $A_{1} A_{2}$ , $B_{1} B_{2}$ и $C_{1} C_{2}$ :

$A_{1} A_{2} = A_{1} A + A A_{2} = - A A_{1} + B B_{1}$
$B_{1} B_{2} = B_{1} B + B B_{2} = - B B_{1} + C C_{1}$
$C_{1} C_{2} = C_{1} C + C C_{2} = - C C_{1} + A A_{1}$

3. Сложение векторов.
Сложим полученные векторы:

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = (- A A_{1} + B B_{1}) + (- B B_{1} + C C_{1}) + (- C C_{1} + A A_{1})

Заметим, что все векторы в сумме взаимно уничтожаются:

= 0

4. Вывод:
Сумма векторов равна $0$ . Это означает, что если отложить эти векторы последовательно друг за другом (конец предыдущего совпадает с началом следующего), они образуют замкнутый многоугольник из трех сторон, то есть треугольник. Требуемый треугольник существует.

Что и требовалось доказать.

Параллелограммы на сторонах треугольника ABC и новый треугольник

Номер 977 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели