Номер 978 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Пусть $A BC D$ — трапеция, где $A D ∥ BC$ , а точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$ соответственно. Докажем требуемое свойство с помощью векторов.

1. Выражение вектора $MN$ .
По правилу сложения векторов выразим вектор $MN$ двумя способами (двигаясь от $M$ к $N$ по разным путям):

Способ 1: $MN = M A + A D + D N$
Способ 2: $MN = MC + CB + BN$

2. Сложение равенств.
Сложим эти два равенства почленно:

2 MN = (M A + MC) + (A D + CB) + (D N + BN)

3. Использование свойств середин отрезков.
Так как $M$ и $N$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$ :

Векторы $M A$ и $MC$ противоположны: $M A + MC = 0$
Векторы $D N$ и $BN$ противоположны: $D N + BN = 0$

4. Подстановка нулевых векторов.
Подставим нулевые векторы в равенство:

2 MN = 0 + A D + CB + 0 = A D - BC

(здесь мы заменили $CB$ на $- BC$ )

Отсюда получаем:

MN = \frac{1}{2} (A D - BC)

5. Вывод.
Так как $A BC D$ — трапеция, векторы оснований $A D$ и $BC$ коллинеарны. Значит, вектор $A D - BC$ также коллинеарен основаниям, а следовательно, вектор $MN$ параллелен основаниям.

Длина вектора $MN$ равна полуразности длин сонаправленных векторов $A D$ и $BC$ (считая, что $A D > BC$ ):

$MN = \frac{A D - BC}{2}$

Что и требовалось доказать.

Трапеция ABCD, отрезок MN между серединами диагоналей

Номер 978 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели