Номер 978 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№978. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Дано:

$A BC D$ — трапеция ( $A D ∥ BC$ )

$M, N$ — середины диагоналей $A C, B D$

Доказать:

$MN ∥ A D, MN ∥ BC$

$MN = \frac{A D - BC}{2}$

Решение:

1) Пусть A BC D — трапеция (A D ∥ BC),

M и N — середины диагоналей A C и B D .

2) Выразим вектор MN двумя способами :

MN = M A + A D + D N

MN = MC + CB + BN

3) Сложим эти равенства :

2 MN = (M A + MC) + (A D + CB) + (D N + BN)

4) Т . к . M и N — середины отрезков, то :

M A + MC = 0, D N + BN = 0

5) Тогда 2 MN = 0 + A D + CB + 0

2 MN = A D - BC

MN = \frac{1}{2} (A D - BC)

6) Т . к . A D и BC коллинеарны, то MN им параллелен .

А его длина равна MN = \frac{A D - BC}{2} .

Ответ: Что и требовалось доказать.