Номер 980 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№980. Докажите теорему о средней линии треугольника с помощью векторного метода.

Дано:

$A BC$ — треугольник

$MN$ — средняя линия

Доказать:

$MN ∥ A C$

$MN = \frac{1}{2} A C$

Решение:

1) Пусть A BC — произвольный треугольник .

M и N — середины сторон A B и BC .

MN — средняя линия треугольника .

2) Выразим вектор MN по правилу треугольника :

MN = MB + BN

Так как M и N — середины сторон, то :

MB = \frac{1}{2} A B, BN = \frac{1}{2} BC

3) Подставим это в первое равенство :

MN = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (A B + BC)

Но по правилу треугольника A B + BC = A C

Следовательно, MN = \frac{1}{2} A C

4) Из равенства MN = \frac{1}{2} A C следует, что :

∙ MN коллинеарен A C, значит MN ∥ A C .

∙ Длина вектора ∣ MN ∣ = \frac{1}{2} ∣ A C ∣, значит MN = \frac{A C}{2} .

Ответ: Что и требовалось доказать.