Номер 980 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Напомним теорему о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

1. Введем обозначения.
Пусть $A BC$ — произвольный треугольник, а точки $M$ и $N$ — середины его сторон $A B$ и $BC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника.

2. Выразим вектор средней линии.
По правилу треугольника выразим вектор $MN$ :

MN = MB + BN

Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон, мы можем выразить векторы $MB$ и $BN$ через векторы сторон треугольника:

Вектор $MB$ сонаправлен с вектором $A B$ и его длина в 2 раза меньше, поэтому $MB = \frac{1}{2} A B$
Вектор $BN$ сонаправлен с вектором $BC$ и его длина в 2 раза меньше, поэтому $BN = \frac{1}{2} BC$

3. Подставим выражения.
Подставим эти выражения в исходное равенство для $MN$ :

MN = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

MN = \frac{1}{2} (A B + BC)

4. Используем правило треугольника.
По правилу сложения векторов (правилу треугольника), сумма векторов $A B + BC$ равна вектору $A C$ :

A B + BC = A C

Следовательно, получаем итоговое векторное равенство:

MN = \frac{1}{2} A C

5. Вывод из векторного равенства.
Из полученного равенства $MN = \frac{1}{2} A C$ следуют два факта:

Векторы $MN$ и $A C$ коллинеарны (и сонаправлены), а значит, отрезки, лежащие на прямых, содержащих эти векторы, параллельны. То есть средняя линия параллельна основанию: $MN ∥ A C$ .
Длина вектора $MN$ равна половине длины вектора $A C$ , следовательно, длина средней линии равна половине длины основания: $MN = \frac{1}{2} A C$ .

Теорема доказана.

Номер 980 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели