Номер 973 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства выразим вектор $MN$ двумя разными способами, используя правило сложения векторов (правило многоугольника).

Способ 1: Рассмотрим ломаную $M A D N$ . Вектор $MN$ можно представить как сумму векторов:
$MN = M A + A D + D N$

Способ 2: Рассмотрим ломаную $MCBN$ . Вектор $MN$ также равен сумме векторов:
$MN = MC + CB + BN$

Сложим эти два векторных равенства почленно:

2 MN = (M A + MC) + (A D + CB) + (D N + BN)

Проанализируем полученные суммы в скобках:

Так как точка $M$ — середина диагонали $A C$ , векторы $M A$ и $MC$ противоположны по направлению и равны по длине: $M A + MC = 0$ .
Так как точка $N$ — середина диагонали $B D$ , векторы $D N$ и $BN$ также противоположны: $D N + BN = 0$ .

Подставим эти нулевые векторы в наше равенство:

$2 MN = 0 + (A D + CB) + 0$

$2 MN = A D + CB$

Разделив обе части на 2, получим требуемое равенство:

$MN = \frac{1}{2} (A D + CB)$

Что и требовалось доказать.