Номер 973 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№973. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$ четырёхугольника $A BC D$ . Докажите, что $MN = \frac{1}{2} (A D + CB)$ .

Дано:

$A BC D$ — четырёхугольник

$M, N$ — середины диагоналей $A C, B D$

Доказать:

$MN = \frac{1}{2} (A D + CB)$

Решение:

Выразим вектор $MN$ двумя разными способами, используя правило многоугольника:

1) Путь 1: MN = M A + A D + D N

2) Путь 2: MN = MC + CB + BN

Сложим эти два векторных равенства почленно:

2 MN = (M A + MC) + (A D + CB) + (D N + BN)

Так как $M$ — середина $A C$ , а $N$ — середина $B D$ :

M A + MC = 0, D N + BN = 0

Подставим нулевые векторы в наше равенство:

2 MN = 0 + (A D + CB) + 0

2 MN = A D + CB

MN = \frac{1}{2} (A D + CB)

Ответ: Что и требовалось доказать.