Номер 979 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№979. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Дано:

$A BC D$ — четырёхугольник

$M, P, N, Q$ — середины сторон $A B, BC, C D, D A$

$MN$ и $PQ$ — отрезки, соединяющие середины

Доказать:

$MN$ и $PQ$ точкой пересечения делятся пополам

Решение:

1) Пусть A BC D — произвольный четырёхугольник,

M, P, N, Q — середины сторон A B, BC, C D, D A .

MN и PQ — отрезки, соединяющие середины .

2) Рассмотрим четырёхугольник MPNQ .

Выразим векторы MP и QN :

MP = MB + BP = \frac{1}{2} (A B + BC) = \frac{1}{2} A C

QN = Q D + D N = \frac{1}{2} (A D + D C) = \frac{1}{2} A C

3) Получили, что MP = QN .

Значит, отрезки MP и QN равны и параллельны .

Следовательно, четырёхугольник MPNQ — параллелограмм .

4) Отрезки MN и PQ — диагонали параллелограмм a MPNQ .

По свойству параллелограмма, его диагонали

точкой пересечения делятся пополам .

Ответ: Что и требовалось доказать.