Номер 979 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

1. Введем обозначения.
Пусть $ABCD$ — произвольный четырёхугольник, а точки $M$, $P$, $N$ и $Q$ — середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это $MN$ и $PQ$.

2. Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$.
Выразим векторы $\overrightarrow{MP}$и $\overrightarrow{QN}$ через стороны исходного четырехугольника:

• По правилу треугольника: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}$. Так как $M$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$, то $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$и $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Отсюда:
  $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
• Аналогично выразим вектор $\overrightarrow{QN}$. По правилу треугольника: $\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{DN}$. Так как $Q$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $CD$, то $\overrightarrow{QD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$и $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$. Отсюда:
  $\overrightarrow{QN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

3. Свойство четырехугольника $MPNQ$.
Сравнивая полученные выражения, мы видим, что:

Равенство векторов означает, что отрезки $MP$ и $QN$ равны по длине и параллельны друг другу. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $MPNQ$ — параллелограмм.

4. Вывод.
Отрезки $MN$ и $PQ$, о которых говорится в задаче, являются диагоналями параллелограмма $MPNQ$. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Что и требовалось доказать.