Номер 990 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№990. На стороне $BC$ треугольника $A BC$ отмечена точка $N$ так, что $BN = 2 NC$ . Выразите вектор $A N$ через векторы $a = B A$ и $b = BC$ .

Дано:

$△ A BC$

$N \in BC, BN = 2 NC$

$a = B A, b = BC$

Выразить:

$A N$ через $a$ и $b$

Решение:

1) По условию $BN = 2 NC$ . Значит, сторона $BC$ состоит из трёх равных частей, две из которых составляют отрезок $BN$ :

BN = \frac{2}{3} BC

2) Векторы $BN$ и $BC$ лежат на одной прямой и сонаправлены, поэтому:

BN = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} b

3) Рассмотрим $△ A BN$ . По правилу треугольника:

A N = A B + BN

4) Так как $a = B A$ , то вектор $A B$ ему противоположен: $A B = - a$ . Подставим всё в формулу суммы:

A N = - a + \frac{2}{3} b = \frac{2}{3} b - a

Ответ: $A N = \frac{2}{3} b - a$