Номер 989 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

1) Векторы $\vec{x}$и $\vec{y}$ не коллинеарны

Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{x}$, а от точки $B$ — вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{y}$. По правилу треугольника сумма равна:

Точки $A,B,C$ не лежат на одной прямой, значит $ABC$ — треугольник. Запишем для него неравенство треугольника:

2) Векторы $\vec{x}$и $\vec{y}$ коллинеарны (задача 988)

Если векторы сонаправлены, то точка $B$ лежит между $A$ и $C$, поэтому $AC=AB+BC$:

Если векторы противоположно направлены (пусть $|\vec{x}|\ge |\vec{y}|$), то точка $C$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $AC=AB-BC$:

3) Объединим все случаи

Для неколлинеарных векторов получились строгие неравенства, а для коллинеарных они обращаются в равенства. Значит, для любых векторов верны нестрогие неравенства: